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如图:过点P(0,2)做直线交抛物线x2=2y于A,B两点,O为坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)求△OAB面积的最小值.

2023-08-19 21:28:18 编辑:join 浏览量:546

如图:过点P(0,2)做直线交抛物线x2=2y于A,B两点,O为坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)求△OAB面积的最小值.

【解答】证明:(1)由题意,设直线AB:y=kx+2,与抛物线x2=2y联立,可得x2-2kx-4=0

设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),

则直线OA的斜率为kOA=y1x1,直线OB的斜率为kOB=y2x2,

因为x1,x2是方程x2-2kx-4=0得两个解,根据韦达定理得x1+x2=2k,x1x2=-4

∴kOAkOB=y1y2x1x2=(kx1+2)(kx2+2)x1x2=k2x1x2+2k(x1+x2)+4x1x2=-4k2+2k•2k+4-4=-1

所以OA⊥OB;

(2)S△OAB=S△OAP+S△OBP=12|OP||x1|+12|OP||x2|=12|OP||x2-x1|=2k2+4,

∴当k=0时,△OAB面积最小,最小值为4.

标签:过点,x2,2y

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