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对数:定头"

2023-08-21 00:12:04 编辑:join 浏览量:607

对数:定头

运算法则公式如下:

1、lnx+

lny=lnxy

2、lnx-lny=ln(x/y)

3、lnxⁿ=nlnx

4、ln(ⁿ√x)=lnx/n

5、lne=1

6、ln1=0

扩展资料:

由指数和对数的互相转化关系可得出:

1、两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和,即

2、两个正数商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差,即

3、一个正数幂的对数,等于幂的底数的对数乘以幂的指数,即

4、若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数,等于被开方数的对数除以根指数,即

高一对数函数运算法则

1、a^(log(a)(b))=b

(对数恒等式)

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

证明:

1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.

2、因为a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]

=

a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

=(M)*(N)

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]

=

a^{[log(a)(M)]

+

[log(a)(N)]}

两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(MN)

=

log(a)(M)

+

log(a)(N)

4、与(3)类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)]

=

a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)]

=

a^{[log(a)(M)]

-

[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M÷N)

=

log(a)(M)

-

log(a)(N)

5、与(3)类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]

=

{a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]

=

a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下:

由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导:

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)

=

[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]

=

(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

例如:log(8)27=log(2³)3³=log(2)3

再如:log(√2)√5=log(2)5.

loga(N)n=n·logaN.

(分析)欲证loga(N)n=n·logaN,只需证

Nn=an·logaN=(a·logaN)n,

只需证

N=alogaN.

由对数恒等式,这是显然成立的.

对数运算法则推导

标签:定头,对数

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